21.08 21.07 Mathematic Formulas II

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Mathematical Symbols

Equal / イコール

Description: Indicates that both sides, $a$ and $b$ , are equal.
【説明】両辺が等しいことを示す。
Reading: イコール (Ikōru)
Formula:

$a = b$

Not Equal / ノットーイコール

Description: Indicates that $a$ and $b$ are not equal.
【説明】両辺が等しくないことを示す。
Reading: ノットーイコール (Notto Ikōru)
Formula:

$a \neq = b$

Approximately Equal / ニアリーイコール

Description: Indicates that $a$ and $b$ are approximately equal.
【説明】両辺がおおよそ等しいことを示す。
Reading: ニアリーイコール (Niarii Ikōru)
Formula:

$a \approx b$

Defines (Left Side) / をで定義する

Description: Indicates that the expression on the left side, $a$ , is being defined by the expression on the right side, $b$ .
【説明】左辺の表現が右辺の表現によって定義されることを示す。
Reading: をで定義する (O de sadameguisu)
Formula:

$a := b$

Defines (Right Side) / をによって定義する

Description: Indicates that the expression on the right side, $b$ , is being used to define the expression on the left side, $a$ .
【説明】右辺の表現が左辺の表現を定義することを示す。
Reading: をによって定義する (O ni yotte sadameguisu)
Formula:

$a \equiv b$

Proportional / 比例する

Description: Indicates that $a$ and $b$ are in a proportional relationship.
【説明】両辺が比例関係にあることを示す。
Reading: 比例する (Hi rei suru)
Formula:

$a \propto b$

Order Equal / オーダーが等しい

Description: Indicates that the orders (number of digits) of $a$ and $b$ are equal.
【説明】両辺のオーダー(桁数)が等しいことを示す。
Reading: オーダーが等しい (Odā ga ikoru)
Formula:

$a \sim b$

Less Than / 小なり

Description: Indicates that $a$ is smaller than $b$ .
【説明】左辺が右辺より小さいことを示す。
Reading: 小なり (Shō nari)
Formula:

$a < b$

Less Than or Equal To / 小なり(または)イコール

Description: Indicates that $a$ is less than or equal to $b$ .
【説明】左辺が右辺以下であることを示す。
Reading: 小なり(または)イコール (Shō nari (mata wa) Ikōru)
Formula:

$a \leq b$

Very Small / 非常に小なり

Description: Indicates that $a$ is extremely small compared to $b$ .
【説明】左辺が右辺に比べて極端に小さいことを示す。
Reading: 非常に小なり (Hi jō ni shō nari)
Formula:

$a ≪ b$

Greater Than / 大なり

Description: Indicates that $b$ is smaller than $a$ .
【説明】右辺が左辺より小さいことを示す。
Reading: 大なり (Dai nari)
Formula:

$a > b$

Greater Than or Equal To / 大なり(または)イコール

Description: Indicates that $b$ is greater than or equal to $a$ .
【説明】右辺が左辺以上であることを示す。
Reading: 大なり(または)イコール (Dai nari (mata wa) Ikōru)
Formula:

$a \geq b$

Very Large / 非常に大なり

Description: Indicates that $b$ is extremely large compared to $a$ .
【説明】右辺が左辺に比べて極端に大きいことを示す。
Reading: 非常に大なり (Hi jō ni dai nari)
Formula:

$a ≫ b$

Approximately Equal or Less Than / 近似的に等しいかそれよりも小さい

$⪅$

Description: Indicates that $a$ is approximately equal to or less than $b$ .
【説明】左辺が右辺に近似的に等しいか、それより小さいことを示す。
Reading: 近似的に等しいかそれよりも小さい (Chikai teki ni ikoru ka sore yori mo shō shī)

Approximately Equal or Greater Than / 近似的に等しいかそれよりも大きい

$⪆$

Description: Indicates that $b$ is approximately equal to or greater than $a$ .
【説明】右辺が左辺に近似的に等しいか、それより大きいことを示す。
Reading: 近似的に等しいかそれよりも大きい (Chikai teki ni ikoru ka sore yori mo dai nari)
Formula:

$a ≳ b$

【加算記号】(Addition Symbols)

+ (Plus)
- 【説明】足し算。
- 【読み】たす (tasu)

$a + b$

【読み】a たす b (a tasu b)

【減算記号】(Subtraction Symbols)

- (Minus)
- 【説明】引き算。
- 【読み】ひく (hiku)

$a - b$

【読み】a ひく b (a hiku b)

【乗算記号】(Multiplication Symbols)

×, ⋅ (Multiplication)
- 【説明】掛け算。スカラー量同士の積など、誤解が生じない場合や区別する必要がない場合には省略してよい。
- 【読み】かける (kakeru)

$a \times b, a \cdot b$

【読み】a かける b (a kakeru b)

【除算記号】(Division Symbols)

÷ (Division)
- 【説明】割り算。
- 【読み】わる (waru)

$a \div b$

【読み】a わる b (a waru b)

【複合】(Compound Symbols)

$\pm, \mp$

± (Plus-Minus)
- 【説明】複合記号。
- 【読み】プラスマイナス (purasu mainasu)
∓ (Minus-Plus)
- 【説明】複合記号。
- 【読み】マイナスプラス (mainasu purasu)

【合同式】(Congruence)

≡ (Congruent)
- 【説明】ある整数を別の整数で割ったときの余りが等しいことを示す記号です。具体的には、整数 $a$ を $n$ で割ったときの余りが $b$ である場合、 $a \equiv b (mod n)$ と表されます。
- 【読み】n を法として a wa b to dōgō (a is congruent to b modulo n)

$a \equiv b (mod c)$

【読み】a wa b to c to dōgō (a is congruent to b modulo c)

【根号】(Radical Symbols)

$a$

【説明】 $a$ は $a$ の 平方根 (2乗根) です。
【読み】ルート、平方根 (rūto, heihōkon)

$3 a$

【説明】 $3 a$ は $a$ の 立方根 (3乗根) です。
【読み】立方根 (rippōkon)

$n a$

【説明】 $n a$ は $a$ の n乗根 です。
【読み】n乗根 (n-jōkon)

【乗べき】(Exponents)

$a^{b}$

【説明】 $a^{b}$ は $a$ の べき乗 (または累乗) です。
【読み】 $a$ (の) 2 乗 (jou) or (自乗 - jijou)

$a^{- b}$

【説明】 $a^{- b}$ は $a$ の 負のべき乗 です。
【読み】 $a^{- b}$ は 1/ $a$ の $b$ 乗 (jou) or マイナス $b$ 乗 (minus-jou)

【記号の組み合わせ】(Combined Symbols)

$\nabla \cdot a$

【読み】nabura o a (nabura o a)

$a \pm b, a \mp c$

【読み】a purasu mainasu b, a mainasu purasu c (a purasu mainasu b, a mainasu purasu c)

$a + b - c, a - b + c$

【読み】a purasu b mainasu c, a mainasu b purasu c (a purasu b mainasu c, a mainasu b purasu c)

$a \pm b, a \mp b$

【読み】a purasu mainasu b, a mainasu purasu b (a purasu mainasu b, a mainasu purasu b)

【剰余】(Modulo)

$a mod b$

【説明】 $a$ を $b$ で割ったときの余りを意味する。
【読み】a moddo b (a moddo b)

$a \equiv b (mod n)$

【説明】 $a$ を $n$ で割ったときの余りと $b$ を $n$ で割ったときの余りが等しいことを合同という。
【読み】a wa b to n to dōgō (a is congruent to b modulo n)

$a % b$

【説明】 $a$ を $b$ で割ったときの余りを意味する。
【読み】a moddo b (a moddo b)

【百分率】(Percentage)

$a %$

【説明】数値を100で割った値。
【読み】パーセント (pāsento)

【平均】(Average)

\overset{a}{ˉ}

【説明】量 $a$ の平均値。
【読み】(の)バー、の平均値 ((no) bā, no heikinkachi)

【総和記号】(Summation Notation)

$\sum_i = 1^{n} a_{i}$

【説明】数列 $a_{i}$ の第 $i$ 項から第 $n$ 項までの総ての和。
【読み】シグマイコール 1 から n まで (shiguma ikō 1 kara n made)

【総乗記号】(Product Notation)

$\prod_i = 1^{n} a_{i}$

【説明】数列 $a_{i}$ の第 $i$ 項から第 $n$ 項までの総ての積。
【読み】パイイコール 1 から n まで (pai ikō 1 kara n made)

【階乗】(Factorial)

$n!$

【説明】階乗。自然数 $n$ に対する階乗は次式で定義する:

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$
【読み】(の)階乗 ((no) kaijō)

【絶対値】(Absolute Value)

$∣ a ∣$

【説明】ある数が 0 からどれだけ離れているかをあらわす。
【読み】絶対値、の絶対値 (zettaichi, no zettaichi)

複素数 (Complex Numbers)

【虚数単位】(Imaginary Unit)

$i$

【説明】虚数単位.
【読み】アイ (ai)

【共役複素数, 複素共役】(Complex Conjugate)

$z^{\*}$

【説明】複素数 z に対してその虚部の符号を入れ替えた量-きょうやく共役量-をあらわす.
【読み】スター (sutā)

$\overset{z}{ˉ}$

【説明】複素数 z に対してその虚部の符号を入れ替えた量-きょうやく共役量-をあらわす.
【読み】バー (bā)

【複素数の絶対値, ノルム】(Absolute Value, Norm of Complex Numbers)

$∣ z ∣$

【説明】複素数平面上での原点からの距離をあらわす.
【読み】絶ぜったいち対値 , の絶ぜったいち対値 (zetsuzettaichi taihi, no zetsuzettaichi taihi)

【実部】(Real Part)

$Re [z] = a$

【説明】複素数 z の実部をあらわす.
【読み】リアルパート (riaru pāto)

【虚部】(Imaginary Part)

$Im [z] = b$

【説明】複素数 z の虚部をあらわす.
【読み】イマジナリパート (imazinari pāto)

【偏角】(Argument)

$ar g (z) = θ$

【説明】極形式の複素数 z の偏角をあらわす.
【読み】アーグ (āgu)

特殊な文字 (Special Symbols)

$π$

【説明】円周率。
【読み】パイ (pai)

$e$

【説明】次の極限値をネイピア数という:

$e = lim_n \to \infty (1 + \frac{1}{n})^{n}$

【読み】イー (ī)

$γ$

【説明】次の極限値をオイラーの定数という。この極限値が有理数か無理数かはまだわかっていない:

$γ = lim_n \to \infty (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - ln n)$

【読み】ガンマ (ganma)

幾何学 (Geometry)

【平行】(Parallel)

$∥$

【説明】辺やベクトルが平行であることを意味する.
【読み】平行 (heikō)

【垂直】(Perpendicular)

$l ⊥ m$

【説明】辺やベクトルが垂直であることを意味する.
【読み】垂直 (suichoku)

【三角形】(Triangle)

$△ A BC$

【説明】 A, B, C を頂点とする三角形をあらわす.
【読み】三角形 (san-kakkei kakkei)

【角】(Angle)

$∠ A BC$

【説明】線分 AB と線分 AC が点 B で成す角度をあらわす.
【読み】角(kaku)

【線分】(Line Segment)

$A B$

【説明】二つの点 A と B を結ぶ線分をあらわす. 省略されることもある.
【読み】線分 (の長さ) (sen bun (no nagasa))

【(円)弧】(Arc)

$A B ⌢$

【説明】円周上の二つの点 A と B を結ぶ弧をあらわす. このような弧は二つあるが短い方を劣弧,長い方を優弧といい何も断りがなければ劣弧をあらわす.
【読み】弧 (ko)

【相似】(Similarity)

$△ A BC \sim △ D EF$

【説明】三角形 ABC と三角形 DEF が相似であることをあらわす.日本では∽という記号で表記されることが多い.
【読み】三角形相似三角形 (sankakukei souji sankakukei)

【合同】(Congruence)

$△ A BC ≅ △ D EF$

【説明】三角形 ABC と三角形 DEF が合同であることをあらわす.
【読み】三角形合同三角形 (sakakukei goudou sankakukei)

【度数法】(Degree)

$a^{\circ}$

【説明】度数法による角度の表記法.
【読み】度ど (do)

【距離】(Distance)

$d (P, Q)$

【説明】一般的には二つの点 P と Q の直線距離をあらわすが, 距離の定義の設定が文脈によって異なることもある.
【読み】ディスタンス (disutansu)

ベクトル (Vectors)

【ベクトル】(Vector)

$a$

【説明】ベクトルは、文字の上に矢印をつけるか、太字 $a$ であらわす。
【読み】ベクトル (bekutoru)

【ベクトルの長さ / ノルム】(Vector Length / Norm)

$∥ a ∥$

【説明】ベクトルのノルム(長さ、大きさ)をあらわす。ベクトル量の矢印を省いたり、太字にしない場合もノルムをあらわす。
【読み】ノルム、の長さ、の大きさ (norumu, no nagasa, no ōkisa)

【内積 / スカラー積】(Dot Product / Scalar Product)

$a \cdot b$

【説明】二つのベクトル量の積がスカラー量となるような積。スカラー積ともいう。
【読み】ドット、内積、の内積 (dotto, naieki, no naieki)

【外積 / ベクトル積】(Cross Product)

$a \times b$

【説明】二つのベクトル量の積が別のベクトル量となるような積。ベクトル積ともいう。
【読み】クロス、外積、の外積 (kurosu, gaieki, no gaieki)

指数・対数関数 (Exponential And Logarithmic Functions)

【指数関数】(Exponential Function)

$a^{x}$

【説明】 a を底, x を指数とした指数関数をあらわす.
【読み】エクスポネーシャル, イー (exponensharu, i)

【対数関数】(Logarithmic Function)

$lo g_{a} x$

【説明】 a を底, x を真数とした対数関数.
【読み】ログ (rogu)

【常用対数】(Common Logarithm)

$lo g x$

【説明】 10 を底とした対数を常用対数という. 常用対数を用いていることが文脈から明らかな場合, 底 10 を省略する場合もある. ただし, 物理では底を省略した場合には次の自然対数を意味することが多いので注意.
【読み】ログ (rogu)

【自然対数】(Natural Logarithm)

$ln x$

【説明】ネイピア数 e を底とした対数を自然対数という. 自然対数を用いていることが文脈から明らかな場合, 底 e を省略する場合もある. 大学以上の物理では ln で表記することが多い.
【読み】ログ (rogu)

三角関数と双曲線 (Trigonometric and Hyperbolic Functions)

【正弦関数】(Sine Function)

$sin (θ)$

【説明】三角関数の一種. もしくは $sin x$ などと書いたとき, $θ$ を位相という.
【読み】サイン (sain)

【余弦関数】(Cosine Function)

$cos (θ)$

【説明】三角関数の一種.
【読み】コサイン (kosain)

【正接関数】(Tangent Function)

$tan (θ)$

【説明】三角関数の一種.
【読み】タンジェント (tanjentu)

【正割関数】(Secant Function)

$sec (θ)$

【説明】余弦関数の逆数. (逆関数ではない)
【読み】セカント (sekanto)

【余割関数】(Cosecant Function)

$csc (θ)$

【説明】正弦関数の逆数. (逆関数ではない)
【読み】コセカント (kosekanto)

【余接関数】(Cotangent Function)

$cot (θ)$

【説明】正接関数の逆数. (逆関数ではない)
【読み】コタンジェント (kotanjentu)

逆三角関数 (Inverse Trigonometric Functions)

【逆正弦関数】(Inverse Sine Function)

$y = sin^{- 1} (x)$

【説明】正弦関数の逆関数. (逆数ではない)
【読み】アークサイン (ākusain)

【逆余弦関数】(Inverse Cosine Function)

$y = cos^{- 1} (x)$

【説明】余弦関数の逆関数. (逆数ではない)
【読み】アークコサイン (ākukosain)

【逆正接関数】(Inverse Tangent Function)

$y = tan^{- 1} (x)$

【説明】正接関数の逆関数. (逆数ではない)
【読み】アークタンジェント (ākutanjentu)

双曲線関数 (Hyperbolic Functions)

【双曲線正弦関数】(Hyperbolic Sine Function)

$sinh (x)$

【説明】 $sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ で定義される.
【読み】ハイパボリックサイン (haipaborikku sain)

【双曲線余弦関数】(Hyperbolic Cosine Function)

$cosh (x)$

【説明】 $cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ で定義される. この曲線は縣吊荷重垂曲線または
カテナリーと言われ、紐状の物体の両端を持ってたらした時の曲線の形状である.
【読み】ハイパボリックコサイン (haipaborikku kosain)

【双曲線正接関数】(Hyperbolic Tangent Function)

$tanh (x)$

【説明】 $tanh (x) = \frac{s i n h ( x )}{c o s h ( x )}$ で定義される.
【読み】ハイパボリックタンジェント (haipaborikku tanjentu)

微分・積分 (Differentiation And Integration)

【近づける】(Approach)

$lim_x \to a$

【説明】左辺を右辺に近づけることを意味する.
【読み】 x が a (に近づく) (ga (ni chikazuku))

【(両側)極限】(Limit)

$lim_x \to a f (x)$

【説明】極限操作を意味する. $x \to x_{0} lim f (x)$ と書いて, $x$ を $x_{0}$ に近づける操作を行う.
【読み】リミットが (に近づく) (rimitto ga (ni chikazuku))

【左極限】(Left-Hand Limit)

$lim_x \to a^{-} f (x)$

【説明】 $x_{0}$ よりも小さな値から $x$ を $x_{0}$ に近づける操作を意味する.
【読み】リミットが (から近づく) (rimitto ga (kara chikazuku))

【右極限】(Right-Hand Limit)

$lim_x \to a^{+} f (x)$

【説明】 $x_{0}$ よりも大きな値から $x$ を $x_{0}$ に近づける操作を意味する. $a$ の場合には省略した記法 $lim_{x \to a} f (x)$ を用いる。
【読み】リミットが (から近づく) (rimitto ga (kara chikazuku))

【微分(ライプニッツの記法)】(Differentiation, Leibniz Notation)

$\frac{df}{d x}$

【説明】 $x$ で関数 $f$ を微分することをあらわす. 割る $d x$ ではないのだが, 形式的に分数のように扱える一面もある。
【読み】 $f$ を $x$ で微分 (f o $x$ de benbetsu)

【高次の微分(ライプニッツの記法)】(Higher-Order Differentiation, Leibniz Notation)

$\frac{d ^{n} f}{d x ^{n}}$

【説明】 $x$ で関数 $f$ を $n$ 階微分したことをあらわす。
【読み】 $n$ 乗微分, $n$ 乗 (n jō benbetsu, n jō)

【微分(ラグランジュの記法)】(Differentiation, Lagrange Notation)

$f^{'} (x), f^{'} (x)$

【説明】関数 $f$ をその変数 $x$ で微分することをあらわす。
【読み】ダッシュ, プライム (dasshu, puraim)
【読み】ダッシュ, プライム (オブ) (dasshu, puraim (obu))

【高次の微分(ラグランジュの記法)】(Higher-Order Differentiation, Lagrange Notation)

$f^{''} (x), f^{(n)} (x)$

【説明】 $f^{''} (x)$ もしくは $f^{(n)} (x)$ で関数 $f$ をその変数 $x$ で $n$ 階微分したことをあらわす。
【読み】ダブルダッシュ, プライム (daburu dasshu, puraim)
【読み】プライムオブ $n$ (puraim obu n)

微分・積分 (Differentiation And Integration)

【時間微分(ニュートンの記法)】(Time Derivative, Newton’s Notation)

$\overset{a}{˙}$

【説明】時間微分をあらわす. 物理学でよく使われる記号である.
【読み】ドット (dotto)

【時間 2 階微分(ニュートンの記法)】(Second Time Derivative, Newton’s Notation)

$\overset{a}{¨}$

【説明】時間 2 階微分をあらわす. 点の数を増やしただけ時間微分の階数が上がることを意味する.
【読み】ツードット (tsūdotto)

【偏微分】(Partial Derivative)

$\frac{\partial f ( x , y )}{\partial x}$

【説明】 2 変数関数 $f (x, y)$ のうち, $y$ を固定して $x$ だけについて微分することをあらわす.
【読み】デルタ $x$ , ラウンド(ディー) $x$ (deruta $x$ , raundo(dī) $x$ )

【積分】(Integration)

$\int f (x) d x$

【説明】 $x$ で $f (x)$ の不定積分をあらわす.
【読み】インテグラル (integuraru)

$\int_{a}^{b} f (x) d x$

【説明】 $x$ から $a$ から $b$ までの $f (x)$ の定積分をあらわす.
【読み】インテグラル $a$ から $b$ まで (integuraru $a$ kara $b$ made)

【経路積分, 周回積分】(Line Integral, Contour Integral)

$\int_{C} F \cdot d r, \oint_{C} F \cdot d r$

【説明】経路 $C$ に沿った線積分. $\oint_{C}$ は閉じた経路 $C$ に沿った線積分, すなわち周回積分をあらわす.
【読み】インテグラル $C$ に沿って, インテグラル $C$ を巡って (integuraru $C$ ni sotte, integuraru $C$ o meguritte)

【(二)重積分】(Double Integral)

$\iint_{D} f (x, y) d x d y$

【説明】領域 $D$ 内部の 2重積分. 面積分.
【読み】ダブルインテグラル $D$ (daburu integuraru $D$ )

【(三)重積分】(Triple Integral)

$∭_{V} f (x, y, z) d x d y d z$

【説明】領域 $V$ 内部の 3重積分. 体積積分.
【読み】トリプルインテグラル $V$ (toripuru integuraru $V$ )

【閉領域】(Closed Region)

$\partial D$

【説明】閉領域 $D$ の境界.
【読み】デルタ $D$ (deruta $D$ )

【全微分】(Total Differential)

$df = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y$

【説明】関数 $f (x, y)$ の全微分.
【読み】zen benbetsu (全微分)

【ヤコビアン】(Jacobian)

$J = \frac{\partial ( f , g )}{\partial ( x , y )}, \frac{d ( f , g )}{d ( x , y )}$

【説明】ヤコビアン.
【読み】ヤコビアン (yakobian)

【ディラックのデルタ関数】(Dirac Delta Function)

$δ (x)$

【説明】ディラックのデルタ関数.
【読み】デルタ (deruta)

【ランダウ記号】(Landau Symbols)

$O (f (x)), o (f (x))$

【説明】 $O (f (x))$ は $f (x)$ 以上の高次の微小量をまとめており、 $o (f (x))$ は $f (x)$ より高次の微小量をまとめていると思って良い. より詳しくは「その他」の項目で記述する.
【読み】オーオブ, オー (オブ) (ō obu, ō (obu))

【微小量 / 差分】(Infinitesimal / Difference)

$Δ x$

【説明】 $Δ x$ などと書いて, 量 $x$ の微小変化を表す. かける $x$ ではない.
【読み】デルタ $x$ (deruta $x$ )

【無限大】(Infinity)

$\infty$

【説明】無限大をあらわす. 物理では, 注目量に対して十分に大きい量の $\infty$ に置き換えて計算することが多々ある.
【読み】無限大 (mugen-dai)

ベクトル解析 (Vector Analysis)

【勾配 / グラディエント】(Gradient)

$\nabla f, \nabla ϕ$

【説明】ナブラ演算子. 勾配. $\nabla$ は形式的なベクトルである.
【読み】グラディエント (guradeiento)

【発散 / ダイバージェンス】(Divergence)

$div A = \nabla \cdot A$

【説明】発散. (ベクトル場 $A$ の)
【読み】ダイバージェンス (daibājensu)

【回転 / ローテーション】(Curl)

$rot A = \nabla \times A$

【説明】回転. (ベクトル場 $A$ の)
【読み】ローテーション (rōtēshon)

【ラプラシアン演算子】(Laplacian Operator)

$Δ = \nabla \cdot \nabla = \nabla^{2}$

【説明】次式で定義される.
【読み】ラプラシアン (rapurashian)

論理 (Logic)

【否定】(Negation)

$\neg P, \overline{P}$

【説明】命題 $P$ の否定を意味する.
【読み】ノット, (の)バー (notto, (no) bā)

【論理積 / かつ】(Conjunction)

$P \land Q$

【説明】論理積(かつ).
【読み】かつ (to)

【論理和 / または】(Disjunction)

$P \lor Q$

【説明】論理和(または).
【読み】または (mataha)

【ならば】(Implication)

$P \Rightarrow Q$

【説明】左辺は右辺の十分条件.
【読み】ならば (naraba)

【ためには】(Necessary Condition)

$P \Leftarrow Q$

【説明】左辺は右辺の必要条件.
【読み】であるためには (de aru tame ni wa)

【同値関係 / 必要十分】(Equivalence)

$P \Leftrightarrow Q, P \equiv Q, P = Q$

【説明】左辺と右辺の命題の真偽は一致し, 互いに必要十分条件である.
【読み】同値 (dōchi)

【全称記号】(Universal Quantifier)

$\forall x, P (x)$

【説明】 $\forall$ で「全ての $x$ について $P (x)$ である」ということを次式であらわす.
【読み】 $x$ をみたす全(すべての), $x$ をみたす任(に意のn)

【存在記号】(Existential Quantifier)

$\exists x, P (x)$

【説明】 $\exists$ で「 $P (x)$ となるある $x$ が存在する」ということを次式であらわす.
【読み】 $x$ をみたすような $x$ が存在する (x o mitasu yōna x ga sonzai suru)

集合論 (Set Theory)

【集合】(Set)

${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$

【説明】集合 $A$ の要素が $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ の場合, ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ と集合の要素をまとめて表す。

${x ∣ P (x)}$

【説明】条件 $P (x)$ を満たす $x$ の集合を表している。

【補集合】(Complement)

$\overline{A}, A^{c}$

【説明】集合 $A$ の補集合。
【読み】(の)バー, の補集合 (konpurimento, no hoshūgō)

【空集合】(Empty Set)

$\emptyset, ϕ$

【説明】空集合。
【読み】空集合 (kūshūgō), 空 (kū)

【集合要素】(Element Of Set)

$a \in A$

【説明】左辺の元 $a$ が右辺の集合 $A$ の一要素であることをあらわす。
【読み】は $A$ に属する, は $A$ の元 (wa $A$ ni zoku suru, wa $A$ no gen)

【集合包含】(Contains)

$a \in A$

【説明】右辺の元 $a$ が左辺の集合 $A$ の一要素であることをあらわす。
【読み】の要素, の元 ( $A$ no yōso, $A$ no gen)

【和集合】(Union)

$A \cup B$

【説明】和集合。共通集合。
【読み】結び, カップ (musubu, kappu)

【積集合】(Intersection)

$A \cap B$

【説明】積集合。
【読み】交わり, キャップ (majiwari, kyappu)

【部分集合】(Subset)

$A \subseteq B$

【説明】部分集合
【読み】含まれる (fukumaru)

【(真)部分集合】(Proper Subset)

$A \subset B$

【説明】真部分集合。 $A \neq = B$ かつ $A \subseteq B$ のことを意味するが、いくつかの流儀があるので書類によって定義を確認する必要がある。
【読み】含まれる (fukumaru)

【写像】(Function)

$f : X \to Y$

【説明】集合 $X$ から集合 $Y$ への写像を意味する。
【読み】 $X$ から $Y$ へ (X kara $Y$ e)

$f : x \mapsto y = f (x)$

【説明】写像 $f$ によって $x$ が $y = f (x)$ に移ることを意味する。

【集合の数学】(Mathematical Sets)

$N, Z, Q, R, C$

【説明】自然数, 整数, 有理数, 実数, 複素数の集合
【読み】エヌ, ゼット, キュー, アール, シー (enu, zetto, kyū, āru, shī)

【無限の濃度】(Cardinality Of Infinity)

$ℵ_{0}, ℵ_{1}$

【説明】無限の濃度。濃度とは個数を一般化した概念で、対象とした集合の数が有限の場合には濃度は個数に一致する。
【読み】アレフゼロ, アレフワン (arefu zero, arefu wan)

確率論 (Probability Theory)

【順列】(Permutation)

$_n P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$

【説明】 $n$ 個の対象から $r$ 個を取り出すとき、その順序まで含めた場合の数を次式で表す。
【読み】 $n$ ピー $r$ (en pī āru)

【二項係数】(Binomial Coefficient)

$_n C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$

【説明】 $n$ 個の対象から $r$ 個を取り出すとき、その順序を考慮しない場合の数。次式の二項定理に登場する係数。
【読み】 $n$ シー $r$ (en shī āru), 組み合わせ (kumiawase)

【確率】(Probability)

$P (A)$

【説明】事象 $A$ の起きる確率を意味する。
【読み】確率 $A$ (kakuritsu $A$ )

【条件付き確率】(Conditional Probability)

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

【説明】事象 $A$ のもと、事象 $B$ の起きる(条件付き)確率を次式で定義する。
【読み】 $A$ が与えられた時の $B$ の起きる確率

Here is the completed Japanese math notes for the Probability Theory and Statistics sections with the 【読み】 added:

確率論 (Probability Theory)

【順列】(Permutation)

$_n P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$

【説明】 $n$ 個の対象から $r$ 個を取り出すとき、その順序まで含めた場合の数を次式で表す。
【読み】 $n$ ピー $r$ (en pī āru)

【二項係数】(Binomial Coefficient)

$_n C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$

【説明】 $n$ 個の対象から $r$ 個を取り出すとき、その順序を考慮しない場合の数。次式の二項定理に登場する係数。
【読み】 $n$ シー $r$ (en shī āru), 組み合わせ (kumiawase)

【確率】(Probability)

$P (A)$

【説明】事象 $A$ の起きる確率を意味する。
【読み】確率 $A$ (kakuritsu $A$ )

【条件付き確率】(Conditional Probability)

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

【説明】事象 $A$ のもと、事象 $B$ の起きる(条件付き)確率を次式で定義する。
【読み】 $A$ が与えられた時の $B$ の起きる確率 (A ga ataeru rareta toki no B no okiru kakuritsu)

統計学 (Statistics)

【平均値 / 期待値】(Expected Value)

$E (X), \overset{ˉ}{X}, μ$

【説明】確率変数 $X$ の平均値または期待値。
【読み】期待値 $X$ , 平均 $X$ , ミュー (kitatai chi $X$ , heikin $X$ , myū)

【分散】(Variance)

$V (X), s^{2}, σ^{2}, σ_{X}^{2}$

【説明】確率変数 $X$ の分散。
【読み】分散 $X$ , エスニ乗, シグマニ乗, シグマ $X$ ニ乗 (bunsan $X$ , esu ni jō, shiguma ni jō, shiguma $X$ ni jō)

【標準偏差】(Standard Deviation)

$s, σ, σ_{X}$

【説明】確率変数 $X$ の標準偏差。
【読み】エス, シグマ, シグマ $X$ (esu, shiguma, shiguma $X$ )

【共分散】(Covariance)

$s * X Y, σ * X Y, Cov (X, Y)$

【説明】二つの確率変数 $X$ と $Y$ の共分散。
【読み】共分散 $X Y$ , シグマ $X Y$ , 共分散 $(X, Y)$ (kyōbunsan $X Y$ , shiguma $X Y$ , kyōbunsan $(X, Y)$ )

【相関係数】(Correlation Coefficient)

$r$

【説明】二つの確率変数 $X$ と $Y$ の相関係数。
【読み】アール ( āru)

【中央値 / 第2四分位数】(Median)

$M$

【説明】確率変数の中央値。
【読み】エム (emu)

【第1四分位数, 第3四分位数】(Quartiles)

$Q_{1}, Q_{3}$

【説明】確率変数の四分位数。
【読み】キューワン, キュースリー (kyū ichi, kyū san)

Other Symbols and Notations

【括弧】(Parentheses)

$(), [],$
- 【説明】括弧。括弧の優劣は日本では $()$ という流儀が目立つが、という流儀も一般的である。
- 【読み】かっこ (kakko)

【結論を示す】(Therefore)

$∴$

【説明】結論を示す時に用いる。
【読み】ゆえに、したがって (yueni, shitagai-tte)

【理由を示す】(Because)

$∵$

【説明】考慮した数式などを示す前に用いる。
【読み】なぜならば (naze naraba)

【証明終了】(Quod Erat Demonstrandum)

$Q.E.D., ■$

【説明】証明終わりを意味する記号。
【読み】キューイーディー (kyū ī dī)

【その他】(Et Cetera)

$etc.$

【説明】その他をあらわす記号。
【読み】エトセトラ (etosetur)

【具体例】(For Example)

$e.g.$

【説明】具体例をあらわす記号。
【読み】イージー (ījī)

【言い換え】(That Is)

$i.e.$

【説明】言い換えをあらわす記号。
【読み】アイイー (ai ī)

【参考】(Confer)

$cf.$

【説明】参考をあらわす記号。
【読み】シーエフ (shī efu)

【閉区間】(Closed Interval)

$[a, b]$

【説明】 $a$ 以上 $b$ 以下の領域。
【読み】閉区間 (heikkan)

【開区間】(Open Interval)

$(a, b)$

【説明】 $a$ より大きく $b$ 未満の領域。
【読み】開区間 (kaikkan)

【左開右閉区間, 左閉右開区間】(Half-Open Intervals)

$(a, b], [a, b)$

【説明】左開右閉、左閉右開の区間
【読み】左開区間、右開区間

【最大値】(Maximum)

$max$

【説明】最大値。
【読み】マックス

【最小値】(Minimum)

$min$

【説明】最小値。
【読み】ミニマム

【最小上界】(Supremum)

$sup$

【説明】上界の最小値。
【読み】スップ

【最大下界】(Infimum)

$in f$

【説明】下界の最大値。
【読み】インフ

【逆関数】(Inverse Function)

$f^{- 1}$

【説明】関数 $f$ の逆関数。
【読み】インバース

【最大公約数】(Greatest Common Divisor)

$G.C.D.$

【説明】最大公約数(Greatest Common Divisor)の略。 $g cd (a, b)$ のように用いる。
【読み】ジーシーディー

【最小公倍数】(Least Common Multiple)

$L.C.M.$

【説明】最小公倍数(Least Common Multiple)の略。 $lcm (a, b)$ のように用いる。
【読み】エルシーエム

【ランダウの記号】(Landau Notation)

$f (x) = o (g (x))$

【説明】 $f (x) = o (g (x))$ とは次式を意味する:

$lim_x \to a \frac{f ( x )}{g ( x )} = 0$
- ここで、 $a$ の場合には $x$ の部分を省略する。

$f (x) = O (g (x))$

【説明】ランダウの記号 $o (g (x))$ とは異なるがその類似記号。
- $f (x) = O (g (x)) (x \to a)$ は次式を意味する:
- $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} < \infty$
- つまり、 $f (x)$ が $g (x)$ に比べて発散しないで有界であれば良い。
- 例えば $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + O (x^{3})$ と書ける。なぜならば、 $x \to 0$ について、次式が成立するからである:
- $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - ( 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} )}{x ^{3}} < \infty$
$e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots$
- $= 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + o (x^{2})$
$f (x) = \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots$
- $g (x) = x^{2}$
- $lim_{x \to 0} \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots}{x ^{2}} = 0$

The key differences between $o (g (x))$ and $O (g (x))$ are:

$o (g (x))$ means $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = 0$ , whereas $O (g (x))$ means $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} < \infty$ .
$o (g (x))$ indicates that $f (x)$ is asymptotically smaller than $g (x)$ , whereas $O (g (x))$ indicates that $f (x)$ is bounded above by some constant multiple of $g (x)$ .

Ordspår

21.08 Mathematic Formulas II

21.08 21.07 Mathematic Formulas II

Mathematical Symbols

Equal / イコール

Not Equal / ノットーイコール

Approximately Equal / ニアリーイコール

Defines (Left Side) / を で定義する

Defines (Right Side) / を によって定義する

Proportional / 比例する

Order Equal / オーダーが等しい

Less Than / 小なり

Less Than or Equal To / 小なり(または)イコール

Very Small / 非常に小なり

Greater Than / 大なり

Greater Than or Equal To / 大なり(または)イコール

Very Large / 非常に大なり

Approximately Equal or Less Than / 近似的に等しいかそれよりも小さい

Approximately Equal or Greater Than / 近似的に等しいかそれよりも大きい

【加算記号】(Addition Symbols)

【減算記号】(Subtraction Symbols)

【乗算記号】(Multiplication Symbols)

【除算記号】(Division Symbols)

【複合】(Compound Symbols)

【合同式】(Congruence)

【根号】(Radical Symbols)

【乗べき】(Exponents)

【記号の組み合わせ】(Combined Symbols)

【剰余】(Modulo)

【百分率】(Percentage)

【平均】(Average)

【総和記号】(Summation Notation)

【総乗記号】(Product Notation)

【階乗】(Factorial)

【絶対値】(Absolute Value)

複素数 (Complex Numbers)

【虚数単位】(Imaginary Unit)

【共役複素数, 複素共役】(Complex Conjugate)

【複素数の絶対値, ノルム】(Absolute Value, Norm of Complex Numbers)

【実部】(Real Part)

【虚部】(Imaginary Part)

【偏角】(Argument)

特殊な文字 (Special Symbols)

幾何学 (Geometry)

【平行】(Parallel)

【垂直】(Perpendicular)

【三角形】(Triangle)

【角】(Angle)

【線分】(Line Segment)

【(円)弧】(Arc)

【相似】(Similarity)

【合同】(Congruence)

【度数法】(Degree)

【距離】(Distance)

ベクトル (Vectors)

【ベクトル】(Vector)

【ベクトルの長さ / ノルム】(Vector Length / Norm)

【内積 / スカラー積】(Dot Product / Scalar Product)

【外積 / ベクトル積】(Cross Product)

指数・対数関数 (Exponential And Logarithmic Functions)

【指数関数】(Exponential Function)

【対数関数】(Logarithmic Function)

【常用対数】(Common Logarithm)

【自然対数】(Natural Logarithm)

三角関数と双曲線 (Trigonometric and Hyperbolic Functions)

【正弦関数】(Sine Function)

【余弦関数】(Cosine Function)

【正接関数】(Tangent Function)

【正割関数】(Secant Function)

【余割関数】(Cosecant Function)

【余接関数】(Cotangent Function)

逆三角関数 (Inverse Trigonometric Functions)

【逆正弦関数】(Inverse Sine Function)

【逆余弦関数】(Inverse Cosine Function)

【逆正接関数】(Inverse Tangent Function)

双曲線関数 (Hyperbolic Functions)

【双曲線正弦関数】(Hyperbolic Sine Function)

【双曲線余弦関数】(Hyperbolic Cosine Function)

【双曲線正接関数】(Hyperbolic Tangent Function)

微分・積分 (Differentiation And Integration)

Defines (Left Side) / をで定義する

Defines (Right Side) / をによって定義する